API を使ってファイルタイプあるいはプロトコルに関連付けされているアプリケーションを起動できます。詳しくはこちらを参照してください - UnityEngine.WSA.Launcher。
ファイルタイプやプロトコルの既定のアプリケーションとして自分のアプリを設定することもできます。この情報は Player Settings で設定できます (詳細な設定は Package.appxmanifest -> Declarations にて行えます)
サンプルとなるプロジェクトは ここ からダウンロードできます。
詳しくは Assocation launching を参照してください。